Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên BB'C'C' là hình thoi (ảnh 1)

Kẻ B’H ⊥ Bc (H ∈ BC).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC}\\{B'H \subset \left( {BCC'B'} \right);B'H \bot BC}\end{array} \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)} \right.\).

Đặt \(B'H = x(x > 0)\)

\( \Rightarrow BH = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (Định lí Pytago trong tam giác vuông BB’H ).

Gọi M là trung điềm của AB ta có CM ⊥ AB và \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (do ∆ABC đều ạnh \({\rm{a}}\) ).

Trong (ABC) kẻ HK // CM (K ∈ AB), áp dụng định lí Ta−lét ta có:

\(\frac{{HK}}{{CM}} = \frac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{HK}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{a} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{2}.\)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông B’HK ta có:

\(B'{K^2} = B'{H^2} + H{K^2} = {x^2} + \frac{3}{4}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = \frac{3}{4}{a^2} + \frac{1}{4}{x^2} \Rightarrow B'K = \frac{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot B'H}\\{AB \bot HK\left( {HK\,{\rm{//}}\,CM} \right)}\end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {B'HK} \right) \Rightarrow AB \bot B'K} \right.\).

Khi đó ta có: \({S_{ABB'A'}} = B'K.AB = \frac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\)

Ta có: \(CC'\,{\rm{//}}\,BB' \Rightarrow CC'\,{\rm{//}}\,\left( {ABB'A'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {12} }}{5}\).

\( \Rightarrow {V_{C \cdot ABB'A'}} = \frac{1}{3}{S_{ABB'A'}} \cdot d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt {12} }}{5}\)

\( = \frac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \frac{2}{3}{V_{ABC \cdot A'B'C'}}\)

\( \Rightarrow {V_{ABC \cdot A'B'C'}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \frac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}}\)

Lại có: \({V_{ABC \cdot A'B'C'}} = B'H \cdot {S_{\Delta ABC}} = x \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}} = x \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{5} = x \Leftrightarrow 4\left( {3{a^2} + {x^2}} \right) = 25{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 21{x^2} = 12{a^2} \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 7 }}{7}a\)

Vậy \({V_{ABC \cdot A'B'C'}} = x \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{2\sqrt 7 }}{7} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{14}}\).

...Xem thêm

Answer 2