Đường thẳng \( \Delta: 4x - 3y + 6 = 0 \) có phương trình chính tắc là \( y = \frac{4}{3}x + 2 \). Để tìm điểm \( N \) trên trục hoành sao cho \( \Delta \) cách đều hai điểm \( B \) và \( N \), ta có thể sử dụng tính chất của đường thẳng song song và vuông góc.

Gọi \( N(x;0) \) là điểm thuộc trục hoành. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được tính bằng công thức:

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Trong trường hợp này, \( A = 4 \), \( B = -3 \), \( C = 6 \) (lưu ý rằng \( C \) không phải là \( 0 \) vì ta đang sử dụng phương trình chính tắc, không đặt \( C \) về \( 0 \)). Để đường thẳng cách đều hai điểm \( B \) và \( N \), ta có:

\[ \frac{|4(3) - 3(-4) + 6|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 12 + 6|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{30}{\sqrt{25}} = 6 \]

Điểm \( N \) nằm ở phía bên phải của \( B \), do đó \( x > 3 \). Ta có hai điểm \( N \) thỏa mãn:

1. \( N_1(x_1; 0) \) với \( x_1 > 3 \)
2. \( N_2(x_2; 0) \) với \( x_2 < 3 \)

Với \( N_1 \), ta có:

\[ 4x_1 - 3(0) + 6 = 0 \]
\[ 4x_1 = -6 \]
\[ x_1 = -\frac{3}{2} \]

Với \( N_2 \), ta có:

\[ 4x_2 - 3(0) + 6 = 0 \]
\[ 4x_2 = -6 \]
\[ x_2 = -\frac{3}{2} \]

Do \( x_1 > x_2 \), ta có \( x_1 = -\frac{3}{2} \) và \( x_2 = -\frac{3}{2} \).

Vậy, tổng \( x_1 + 10x_2 = -\frac{3}{2} + 10(-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{2} - 15 = -\frac{33}{2} \).