Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: 5x² + 16y² + 27z² − 12xy − 12xz − 12yz

= 3(x − 2y)² + (2y − 3z)² + 2(x − 3z)² ≥ 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 2y = 3z (1)

Suy ra 5x² + 16y² + 27z² ≥ 12(xy + yz + xz)

$\Rightarrow \log_{(x y + y z + x z)} (5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2}) \geq l o g_{(x y + y z + x z)} [12 (x y + y z + x z)] = l o g_{(x y + y z + x z)} 12 + 1$

(có xy + yz + xz ≥ 1 nên hàm số $f (t) = \log_{x y + y z + x z} t$ đồng biến)

Biểu thức đã cho:

$\log_{(x y + y z + x z)} (5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2}) + \log_{144} \sqrt{x y + y z + x z} \geq \log_{(x y + y z + x z)} 12 + 1 + \frac{1}{4} \log_{12} (x y + y z + x z)$

$\log_{(x y + y z + x z)} (5 x^{2} + 16 y^{2} + 27 z^{2}) + \log_{144} \sqrt{x y + y z + x z} \geq 2 \sqrt{l o g_{(x y + y z + x z)} 12. \frac{1}{4} \log_{12} (x y + y z + x z)} + 1$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\log_{(x y + y z + x z)} l 2 = \frac{1}{4} \log_{12} (x y + y z + x z)$

⇔ xy + yz + xz = 12² (2)

Từ (1), (2) suy ra đẳng thức đã cho xảy ra khi $\{\begin{cases} x = 2 y = 3 z \\ x y + y z + x z = 12^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 12 \\ y = 6 \\ z = 4 \end{cases}$

Suy ra x + y – z = 14

Vậy x + y – z = 14.

...Xem thêm

Answer 2