Câu 2 (4 điểm)
a. Tính α với α là góc giữa OM và ON .

Phân tích:

Để tính góc giữa hai vectơ, ta có thể sử dụng công thức tích vectơ:

cosα=∣∣OM ∣∣⋅∣∣ON ∣∣OM ⋅ON ​.

Giải:

Ta có:OM =(1,0)−(0,0)=(1,0)
ON =(2,1)−(0,0)=(2,1)
Thay số vào công thức tích vectơ, ta được: cosα=∣∣(1,0)∣∣⋅∣∣(2,1)∣∣(1)(2)+(0)(1)​=1+1 ​⋅4+1 ​2​=5 ​⋅5 ​2​=52​.
Áp dụng máy tính, ta được: α=arccos(52​)≈66.44∘.
Kết luận:

Góc giữa OM và ON là α≈66.44∘.

b. Viết phương trình đường thẳng song song với Δ và tiếp xúc (C).

Phân tích:

Đường thẳng Δ có phương trình dạng y=mx+b.
Đường thẳng song song với Δ cũng có phương trình dạng y=mx+b′.
Để đường thẳng song song với Δ tiếp xúc với (C), hai đường thẳng này phải có chung một điểm tiếp xúc.
Gọi điểm tiếp xúc là T.
Ta có T thuộc cả đường thẳng Δ và (C).
Giải:

Thay y=mx+b′ vào phương trình đường tròn (C), ta được: (m2x2+2mx+1)+(mx+b′−1)2=4. (m2+1)x2+(2m+m2+2b′−2)x+(b′2−2b′+2)=0.
Để hai đường thẳng có chung một điểm tiếp xúc, phương trình trên phải có nghiệm kép.
Theo định lý Vi-ét, ta có:2m+m2+2b′−2=0
b′2−2b′+2=0
Giải hệ hai phương trình trên, ta được:m=−1,b′=2
Vậy phương trình đường thẳng song song với Δ và tiếp xúc với (C) là y=−x+2.
Kết luận:

Phương trình đường thẳng song song với Δ và tiếp xúc với (C) là y=−x+2.

c. Viết phương trình đường thẳng qua N(1; 3), cắt (C) tại hai điểm phân biệt P và Q để đoạn thẳng PQ có độ dài nhỏ nhất.

Phân tích:

Gọi P và Q là hai điểm trên (C) sao cho NP+PQ nhỏ nhất.
Gọi I là trung điểm của PQ.
Ta có △NIP vuông tại N.
Theo định lý Pythagoras, ta có: NP2=NI2+IP2.
Do NI=21​PQ, ta có: NP2=(21​PQ)2+IP2. NP2=41​PQ2+IP2.
Để NP+PQ nhỏ nhất, ta cần NP nhỏ nhất.
Để NP nhỏ nhất, ta cần IP nhỏ nhất.
Do I là trung điểm của PQ, ta có: IP=21​(xP​−xQ​)2+(yP​−yQ​)2 ​.
Vậy để NP+PQ nhỏ