a) Xét ΔAOE và ΔMOE có: 

AO = MO = R

AE = ME (gt)

OE chung

⇒ ΔAOE = ΔMOE (c.c.c)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO}\)

⇒ \(\widehat {EAO} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ EF là tiếp tuyến của (O) (đpcm)

b) EF và By cắt nhau tại F, theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(\widehat {MOF} = \widehat {BOF}\)

Mà \(\widehat {MOE} = \widehat {AOE}\) (ΔAOE = ΔMOE)

⇒ \(\widehat {MOE} + \widehat {MOF} = \widehat {AOE} + \widehat {BOF} = \frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {EOF} = 90^\circ \) ⇒ ΔEOF là tam giác vuông (đpcm)

c) EF và Ax là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại E

⇒ EA = EM mà OA = OM

⇒ OE là trung trực của AM ⇒ OE ⊥ AM (1)

ΔAMB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ΔAMB vuông tại M

⇒ MA ⊥ MB (2)

Từ (1), (2) suy ra OE // MB

⇒ \(\widehat {MOE} = \widehat {OMB}\)(so le trong)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {OMB}\)(ΔMOB cân tại O)

⇒ \(\widehat {ABM} = \widehat {MOE}\)

Lại có \(\widehat {AMB} = \widehat {EMO} = 90^\circ \)

⇒ ΔEMO đồng dạng với ΔAMB (g.g)

⇒ \(\frac{{EM}}{{OE}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) ⇒ EM.AB = AM.OE (3)

Chứng minh tương tự, ta có ΔFMO đồng dạng với ΔBMA (g.g)

⇒ \(\frac{{FM}}{{FO}} = \frac{{BM}}{{AB}}\) ⇒ FM.AB = BM.OF (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AM.OE + BM.OF = AB.(EM + FM) = AB.EF (đpcm).