Cho hai số dương x;y thỏa mãn điều kiện x+y ≤ 1. Chứng minh: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le \frac{{ - 9}}{4}\).
Quảng cáo
1 câu trả lời 67
Ta có: \(1 \ge x + y \ge 2\sqrt {xy} \Leftrightarrow 4x \le \frac{1}{y} \Leftrightarrow 4{x^2} \le \frac{x}{y} \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{y} \le - 4{x^2}\).
Suy ra: \({x^2} - \frac{3}{{4x}} - \frac{x}{y} \le {x^2} - \frac{3}{{4x}} - 4{x^2} = - 3\left( {{x^2} + \frac{1}{{4x}}} \right) \le \frac{{ - 9}}{4}\).
Vì \({x^2} + \frac{1}{{4x}} = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \left( {x + \frac{1}{{4x}}} \right) - \frac{1}{4} \ge 0 + 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = \(\frac{1}{3}\).
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
130134 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
104703 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
94586 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
71974

