Giải bài toán hình học
Bài toán:

Cho đường thẳng d:3x−4y+12=0 và đường tròn (C) có tâm I(0,4) và bán kính r=3. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với d và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 8.

Giải:

Bước 1:

Tìm phương trình đường thẳng vuông góc với d.
Ta có phương trình đường thẳng d là 3x−4y+12=0. Hệ số góc của đường thẳng d là 43​. Do đó, phương trình đường thẳng vuông góc với d có hệ số góc là −34​.

Gọi đường thẳng vuông góc với d có phương trình là y=ax+b. Thay vào hệ thống phương trình, ta được:

\

Giải hệ thống phương trình này, ta được b=−8 và x=4. Vậy phương trình đường thẳng vuông góc với d là y=34​x−8.

Bước 2:

Tìm điểm giao của đường thẳng vuông góc với d và đường tròn (C).
Gọi điểm giao của đường thẳng vuông góc với d và đường tròn (C) là M(x,y). Thay vào phương trình đường thẳng vuông góc với d, ta được:

y=34​x−8

Thay vào phương trình đường tròn (C), ta được:

(x−0)2+(y−4)2=32

x2+y2−8x+16y−36=0

Thay y=34​x−8 vào phương trình trên, ta được:

x2+(34​x−8)2−8x+16(34​x−8)−36=0

x2+916​x2−364​x+64−8x+64−36=0

925​x2−3100​x+52=0

Giải phương trình này bằng cách tách phương trình thành hai nhân tử, ta được:

(x−4)(5x−13)=0

Vậy x=4 hoặc x=513​.

Thay x=4 vào y=34​x−8, ta được y=34​4−8=−4.

Thay x=513​ vào y=34​x−8, ta được y=34​⋅513​−8=158​.

Vậy điểm giao của đường thẳng vuông góc với d và đường tròn (C) là M1​(4,−4) và M2​(513​,158​).

Bước 3:

Tính độ dài dây cung M1​M2​.
Ta có:

M1​M2​=(4−513​)2+(−4−158​)2 ​

=259​+225144​ ​=225153​ ​=15153 ​​