Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng không tồn tại bốn số nguyên tố \(a, b, c, d\) khác nhau thỏa mãn phương trình \(a^2 = b^2 + c^2 + d^2\), ta sẽ sử dụng một số kiến thức cơ bản về tích chập.

Giả sử rằng \(a, b, c, d\) là bốn số nguyên tố khác nhau thỏa mãn phương trình đã cho.

Xét modulo 4:
- Một số nguyên chia cho 4 sẽ có dạng 4k, 4k + 1, 4k + 2 hoặc 4k + 3.

- Ta biết rằng bình phương của một số chia cho 4 chỉ có thể là 0 hoặc 1.

- Nếu \(a\) là số nguyên tố chia hết cho 4, thì \(a^2\) chia hết cho 4, có dạng \(4k^2\).

- Nếu \(a\) là số nguyên tố còn lại, \(a^2\) sẽ có dạng \(4k + 1\).

Xét \(b^2 + c^2 + d^2\) theo modulo 4:
- Nếu \(b\), \(c\), \(d\) đều là số nguyên tố chia hết cho 4, thì \(b^2\), \(c^2\), \(d^2\) đều chia hết cho 4, và \(b^2 + c^2 + d^2\) cũng chia hết cho 4.
- Nếu một trong ba số \(b\), \(c\), \(d\) là số nguyên tố còn lại, \(b^2\), \(c^2\), \(d^2\) sẽ có dạng \(4k + 1\), \(4k + 1\), \(4k'\) hoặc \(4k'\). Trong trường hợp này, \(b^2 + c^2 + d^2\) sẽ có dạng \(4k + 3\), không chia hết cho 4.

Do đó, không thể có bốn số nguyên tố khác nhau \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) thỏa mãn \(a^2 = b^2 + c^2 + d^2\).

...Xem thêm

Answer 2