Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V. Gọi thể tích của phần đa diện còn lại là V'

Gọi F = EM Ç AD; G = EN Ç CD

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD có:

$\frac{N B}{N C} . \frac{G C}{G D} . \frac{E D}{E B} = 1 \Rightarrow \frac{G C}{G D} = 2$

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABD có:

$\frac{M A}{M B} . \frac{E B}{E D} . \frac{F D}{F A} = 1 \Rightarrow \frac{F D}{F A} = \frac{1}{2}$

Ta có:

$S_{Δ E B N} = \frac{1}{2} d (E; B N) . B N = \frac{1}{2} . 2 d (D; B C) . \frac{1}{2} B C$

$= \frac{1}{2} . d (D; B C) . B C = S_{Δ B C D}$

Do $d (M; (E B N)) = \frac{1}{2} d (A; (B C D)) \Rightarrow V_{M . E B N} = \frac{1}{2} V_{A . B C D}$

$S_{Δ E D G} = \frac{1}{2} d (G; D E) . D E = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} d (C; B D) . B D$

$= \frac{1}{3} . \frac{1}{2} d (C; B D) . B D = S_{Δ B C D}$

Do $d (F; (E D G)) = \frac{1}{3} d (A; (B C D)) \Rightarrow V_{F . E D G} = \frac{1}{9} V_{A . B C D}$

Suy ra $V' = V_{F . E D G} - V_{M . E B N} = \frac{V_{A B C D}}{2} - \frac{V_{A B C D}}{9} = \frac{7}{18} V_{A B C D}$

$\Rightarrow V = \frac{11}{18} V_{A B C D}$

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ta có:

AH ^ (BCD) và $B H = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow A H = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Suy ra $V_{A B C D} = \frac{1}{3} A H . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

$\Rightarrow V = \frac{11}{18} . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{11 \sqrt{2} a^{3}}{216}$ .

...Xem thêm

Answer 2