Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

Gọi H là trung điểm của cạnh AB nên SH ^ AB

Mặt khác (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD)

Gọi F là trung điểm của MN, ΔCMN vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCMN

Qua F kẻ d₁ // SH Þ d₁ ^ (ABCD)

Ta có:

+) $H N = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S N = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

+) $M N = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

+) $S M = \sqrt{S H^{2} + H M^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

Suy ra SN² + MN² = SM²

Do đó tam giác SMN vuông tại N

Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ d₂ ^ (SMN) sao cho d₂ Ç d₁ = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Dễ thấy ΔHMN vuông cân tại N

$\Rightarrow \{\begin{cases} M N ⊥ H N \\ M N ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow M N ⊥ (S H N) \Rightarrow M N ⊥ S N$

$\Rightarrow (\hat{(S M N); (A B C D)}) = (\hat{S N; H N}) = \hat{S N H}$

Ta có: $\{\begin{cases} d_{1} ⊥ (A B C D) \\ d_{2} ⊥ (S M N) \end{cases}$

$\Rightarrow (\hat{d_{1}; d_{2}}) = (\hat{(S M N); (A B C D)}) = \hat{S N H} = \hat{E I F} < 90 °$

$\Rightarrow \tan \hat{E I F} = \tan \hat{S N H} = \frac{S H}{S N} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Có EI ^ (SMN) Þ EI ^ EF

Do đó ∆EIF vuông tại E

$\Rightarrow I E = \frac{E F}{\tan \hat{E I F}} = \frac{S N}{2 \tan \hat{E I F}} = \frac{\frac{a \sqrt{5}}{2}}{2 . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{a \sqrt{30}}{12}$ .

Xét tam giác vuông SIE có:

$I S = \sqrt{I E^{2} + S E^{2}} = \sqrt{I E^{2} + \frac{S M^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{93}}{12} = R$ .

Vậy bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN là: $\frac{a \sqrt{93}}{12}$ .

...Xem thêm

Answer 2