Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có tính chất nếu y = f (x) là hàm số chẵn, thì:

$\{\begin{cases} \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x \\ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{- b}^{- a} f (x) d x \end{cases}$

Xét $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 10$

Đặt t = 2x Þ dt = 2 dx $\Rightarrow d x = \frac{d t}{2}$

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \frac{1}{2} \end{cases}$

Suy ra $\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{f (t)}{2} d t = 10 \Rightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x = 20$

Xét $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x$

Đặt t = sin x Þ dt = cos x dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = - 1 \end{cases}$

Ta có: $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = \int_{- 1}^{0} f (t) d t$

$= \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} f (t) d t + \int_{- \frac{1}{2}}^{0} f (t) d t = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} f (x) d x$

= 20 + 3 = 23

Vậy $I = \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos x f (\sin x) d x = 23$ .

...Xem thêm

Answer 2