Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt t = −x Þ dt = − dx

Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = - 1 \\ x = - 1 \Rightarrow t = 1 \end{cases}$ , khi đó:

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = - \int_{1}^{- 1} \frac{f (- t)}{1 + e^{- t}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{1 + \frac{1}{e^{t}}} d t$

$= \int_{- 1}^{1} \frac{f (- t)}{\frac{e^{t} + 1}{e^{t}}} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{t} . f (- t)}{e^{t} + 1} d t = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x$

Do f (x) là hàm số chẵn nên f (x) = f (−x) "x Î [−1; 1]

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (- x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow I + I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x + \int_{- 1}^{1} \frac{e^{x} . f (x)}{e^{x} + 1} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{(e^{x} + 1) . f (x)}{e^{x} + 1} d x$

$\Rightarrow 2 I = \int_{- 1}^{1} f (x) d x = 4$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$

Vậy $I = \int_{- 1}^{1} \frac{f (x)}{1 + e^{x}} d x = 2$ .

...Xem thêm

Answer 2