Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$Q = \frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{x y} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

$= \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y}$

Xét $3 x + 2 y \geq 2 \sqrt{3 x . 2 y} = 2 \sqrt{6 . 6} = 12$ (với x, y > 0)

Áp dụng BĐT AM - GM với 3x + 2y ≥ 12 ta có:

$Q = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{6}{3 x + 2 y} = \frac{3 x + 2 y}{6} + \frac{24}{3 x + 2 y} - \frac{18}{3 x + 2 y}$

$\geq 2 \sqrt{\frac{3 x + 2 y}{6} . \frac{24}{3 x + 2 y}} - \frac{18}{12} = 2 \sqrt{4} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} 3 x = 2 y \\ x y = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ \frac{2 y^{2}}{3} = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{2 y}{3} \\ y^{2} = 9 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 (d o y > 0) \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là $\frac{5}{2}$ đạt được khi x = 2, y = 3.

...Xem thêm

Answer 2