Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có:

+) 1 + xy = x² + y² ≥ 2xy Û xy £ 1 (Vì (x − y)² = x² + y² − 2xy ≥ 0)

+) x² − xy + y² = 1

Û (x + y)² − 3xy = 1

Û (x + y)² = 1 + 3xy ≥ 0

$\Leftrightarrow x y \geq - \frac{1}{3}$

Khi đó: $P = \frac{x^{4} + y^{4} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1} = \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 x^{2} y^{2} + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}$

$= \frac{{(1 + x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2}$

$= \frac{1 + 2 x y + {(x y)}^{2} - 2 {(x y)}^{2} + 1}{x y + 2} = \frac{- {(x y)}^{2} + 2 x y + 2}{x y + 2}$

Đặt $t = x y, t \in [- \frac{1}{3}; 1]$ , xét hàm số $P = \frac{- t^{2} + 2 t + 2}{t + 2}$

$P^{'} = \frac{- t^{2} - 4 t + 2}{{(t + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow t = - 2 + \sqrt{6}$

Ta tính được: $P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; P (1) = 1; P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Khi đó $m = P (- \frac{1}{3}) = \frac{11}{15}; M = P (- 2 + \sqrt{6}) = 6 - 2 \sqrt{6}$

Vậy $A = M + 15 m = (6 - 2 \sqrt{6}) + 15 . \frac{11}{15} = 17 - 2 \sqrt{6}$ .

...Xem thêm

Answer 2