Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

$\Leftrightarrow x y = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

$P = 2 t (2 - \frac{t^{2} - 2}{2}) - 3 . \frac{t^{2} - 2}{2}, (t \in [- 2; 2])$

$= 4 t - t^{3} + 2 t - \frac{3}{2} t^{2} + 3$

$= - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3 = f (t)$

Xét hàm số $f (t) = - t^{3} - \frac{3}{2} t^{2} + 6 t + 3$ trên [−2; 2] ta có:

$f^{'} (t) = - 3 t^{2} - 3 t + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \in [- 2; 2] \\ t = - 2 \in [- 2; 2] \end{array}$

Ta tính được: $f (- 2) = - 7; f (1) = \frac{13}{2}; f (2) = 1$

Suy ra $\max_{[- 2; 2]} f (t) = f (1) = \frac{13}{2} = \max P$ và $\min_{[- 2; 2]} f (t) = f (- 2) = - 7 = \min P$

Vậy $M + m = \frac{13}{2} + (- 7) = \frac{- 1}{2}$ .

...Xem thêm

Answer 2