1. Để tìm phương trình của đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1;2)\) và cắt tia \(Ox\) và \(Oy\) sao cho tam giác \(OAB\) có diện tích nhỏ nhất, ta cần chọn \(A\) và \(B\) sao cho \(AB\) là phân giác của góc \(\angle MOx\) và \(\angle MOy\).

Do \(A\) và \(B\) nằm trên tia \(Ox\) và tia \(Oy\) lần lượt, nên ta có:

\(A(x_A, 0)\) và \(B(0, y_B)\).

Vậy, ta có hai điểm \(A\) và \(B\) là \(A(x_A, 0)\) và \(B(0, y_B)\), và \(M(1, 2)\).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là \(AB = \sqrt{x_A^2 + y_B^2}\).

Diện tích của tam giác \(OAB\) là \(S = \frac{1}{2} \times AB \times MO\).

Để \(S\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(AB \times MO\).

Ta có \(MO = \sqrt{(1 - x_A)^2 + (2 - y_B)^2}\).

Vậy, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(AB \times MO\), tức là tìm giá trị nhỏ nhất của \(AB \times \sqrt{(1 - x_A)^2 + (2 - y_B)^2}\).

Tính giá trị nhỏ nhất này, ta sẽ tìm được phương trình của đường thẳng \(d\) cần tìm.

2.
a) Để tính góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), ta sử dụng công thức:

\[\cos{\theta} = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2} \times \sqrt{a_2^2 + b_2^2}}\]

Trong đó, \(a_1, b_1\) là hệ số của \(d_1\), và \(a_2, b_2\) là hệ số của \(d_2\).

Tính toán với \(d_1: 2x - 5y - 2 = 0\) và \(d_2: 3x + 7y + 3 = 0\), ta có:

\(a_1 = 2\), \(b_1 = -5\), \(a_2 = 3\), \(b_2 = 7\).

Thay vào công thức, ta tính được giá trị của \(\cos{\theta}\), từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng.

b) Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d_2\), ta sử dụng tính chất của hai đường thẳng vuông góc nhau: hệ số góc của \(d\) sẽ là nghịch đảo âm của hệ số góc của \(d_2\).

Hệ số góc của \(d_2\) là \(-\frac{a_2}{b_2} = -\frac{3}{7}\), vậy hệ số góc của \(d\) là \(\frac{7}{3}\).

Từ đó, ta có thể viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) thông qua \(A(-2, 1)\) và hệ số góc là \(\frac{7}{3}\).