**a)**
Để tìm phương trình của đường thẳng \(d\) qua điểm \(A\) sao cho khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng \(d\) là lớn nhất, ta cần xác định điểm cực đại và sau đó tìm phương trình của đường thẳng qua điểm \(A\) và điểm cực đại đó.

Gọi \(O(-2, 1)\) là tâm của đường tròn \((C)\). Khoảng cách từ một điểm \(P(x_0, y_0)\) đến một đường thẳng \(Ax + By + C = 0\) là:

\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Vì \(d\) phải là lớn nhất, tức là \(|Ax_0 + By_0 + C|\) phải là lớn nhất.

Đường thẳng nối điểm \(A\) và \(O\) có phương trình là \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{P} = 0\), với \(P(x, y)\) là một điểm trên đường thẳng đó. Khi đó, ta có:

\[(x + 4)(x + 2) + (y - 3)(y - 1) = 0\]
\[x^2 + 6x + 8 + y^2 - 4y + 3 = 0\]
\[x^2 + y^2 + 6x - 4y + 11 = 0\]

Đường thẳng này sẽ đi qua điểm \(A\) và có phương trình \(d_1: x^2 + y^2 + 6x - 4y + 11 = 0\).

Để tìm điểm cực đại, ta cần chuyển phương trình đường tròn \((C)\) về dạng tiêu chuẩn:

\[(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9\]
\[x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 9\]
\[x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0\]

Từ đây, ta thấy \(A\) và \(O\) nằm ngoài đường tròn. Vì vậy, \(d_1\) sẽ cắt đường tròn \((C)\).

Sau khi có phương trình của đường thẳng \(d_1\) và đường tròn \((C)\), ta có thể tìm điểm cực đại bằng cách giải hệ phương trình giữa đường tròn và đường thẳng. Điểm cực đại này chính là điểm giao điểm của đường tròn và đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(d_1\) đi qua tâm của đường tròn.

**b)**
Giá trị lớn nhất của \(BM\) xảy ra khi \(M\) là điểm nằm ở giao điểm của đường tròn và đường vuông góc với \(d_1\) đi qua tâm của đường tròn. Để tìm điểm \(M\) đó, ta sẽ sử dụng phương trình đường tròn và phương trình đường thẳng vuông góc với \(d_1\). Sau khi tìm được \(M\), ta tính \(BM\) và tìm giá trị lớn nhất của nó.