Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và một số tính chất cơ bản của hình học.

**a. Chứng minh $AC^2 + BD^2 = CD^2$**

Đầu tiên, vì $O$ là trung điểm của $AB$, ta có $OC = OD = \frac{AB}{2}$.

Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $OD$, và $F$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $OC$. Ta có hai tam giác vuông $CDE$ và $CDF$.

Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác này:

Trong tam giác $CDE$:
\[CD^2 = CE^2 + DE^2\]

Trong tam giác $CDF$:
\[CD^2 = CF^2 + DF^2\]

Nhưng ta thấy $CE = CF$ (vì chúng là chiều dài hình chiếu vuông góc của $C$ và $D$ lên $OD$ và $OC$), và $DE = DF$ (vì $O$ là trung điểm của $AB$).

Do đó:
\[CE^2 + DE^2 = CF^2 + DF^2\]
\[CD^2 = CD^2\]

Vậy ta đã chứng minh được $AC^2 + BD^2 = CD^2$.

**b. Chứng minh khoảng cách từ $O$ đến $CD$ không đổi khi $C$ và $D$ thay đổi trên $Ax$ và $By$.**

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là khoảng cách ngắn nhất từ điểm đó đến đường thẳng đó. Vì vậy, để chứng minh khoảng cách từ $O$ đến $CD$ không đổi khi $C$ và $D$ thay đổi, ta chỉ cần chứng minh rằng $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $CD$ và đi qua trung điểm của $CD$.

Ta biết rằng $O$ là trung điểm của $AB$, nên $OC = OD = \frac{AB}{2}$, tức là $OC = OD = \frac{CD}{2}$.

Vậy, $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $CD$ và đi qua trung điểm của $CD$.

Do đó, khoảng cách từ $O$ đến $CD$ không đổi khi $C$ và $D$ thay đổi trên $Ax$ và $By$.

...Xem thêm

Answer 2