a) Ta có SA = AB = BC = 2, do đó tam giác ABC là tam giác đều. Vì tam giác ABC vuông tại B nên ta có AB = BC = 2 = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Khi đó, ta có SA = R = 2.
Gọi I là trung điểm của BC, ta có SI = SA/2 = 1. Vì MS + 2MB = 0, ta có MS = -2MB. Khi đó, ta có vector MS = -2 vector MB.
Vì N là trung điểm của BC, ta có NS = NC.
Vì NS + NC = 0, ta có NS = -NC. Khi đó, ta có vector NS = - vector NC.
Vậy, ta có:
- vector MS = -2 vector MB
- vector NS = - vector NC
Khi đó, ta thấy rằng vector MS và vector NS đối ngược nhau, nghĩa là đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Vậy, ta đã chứng minh được rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
b) Để tính côsin góc giữa hai đường thẳng, ta cần biết vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) chính là vector SA x vector SB (tích có hướng từ S đến B). Ta có:
- vector SA = (0, 2, 2)
- vector SB = (2, 0, 2)
Tính tích vector của SA và SB ta được vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) là: (2*2 - 2*0, 2*2 - 0*2, 0*0 - 2*2) = (4, 4, -4)
Vậy, vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) là (4, 4, -4).
Gọi u là vector đồng phương với đường thẳng MN và có chiều từ M đến N. Ta có u = vector NS x vector MS (tích có hướng từ N đến M). Ta có:
- vector NS = (0, 1, -1)
- vector MS = (-2, 0, 0)
Tính tích vector của NS và MS ta được vector u là: (0*0 - (-1)*0, 0*(-2) - 1*0, 1*(-2) - 0*0) = (0, 0, -2)
Vậy, vector u = (0, 0, -2).
Để tính côsin góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức: cos(θ) = (u.v) / (||u|| * ||v||), trong đó u và v lần lượt là vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng và vector đồng phương với đường thẳng.
Tính ||u|| ta được ||u|| = sqrt(0^2 + 0^2 + (-2)^2) = 2.
Tính ||v|| ta được ||v|| = sqrt(4^2 + 4^2 + (-4)^2) = 4*sqrt(3).
Tính u.v ta được u.v = 0*4 + 0*4 + (-2)*(-4) = 8.
Vậy, côsin góc giữa hai đường thẳng là: cos(θ) = 8 / (2 * 4*sqrt(3)) = 1 / (2*sqrt(3)) = sqrt(3) / 6.
Vậy, côsin góc giữa hai đường thẳng là sqrt(3) / 6.

a) Ta có SA = AB = BC = 2, do đó tam giác ABC là tam giác đều. Vì tam giác ABC vuông tại B nên ta có AB = BC = 2 = R (bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Khi đó, ta có SA = R = 2.

Gọi I là trung điểm của BC, ta có SI = SA/2 = 1. Vì MS + 2MB = 0, ta có MS = -2MB. Khi đó, ta có vector MS = -2 vector MB.

Vì N là trung điểm của BC, ta có NS = NC.

Vì NS + NC = 0, ta có NS = -NC. Khi đó, ta có vector NS = - vector NC.

Vậy, ta có:

- vector MS = -2 vector MB

- vector NS = - vector NC

Khi đó, ta thấy rằng vector MS và vector NS đối ngược nhau, nghĩa là đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (SAB).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).

b) Để tính côsin góc giữa hai đường thẳng, ta cần biết vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

Vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) chính là vector SA x vector SB (tích có hướng từ S đến B). Ta có:

- vector SA = (0, 2, 2)

- vector SB = (2, 0, 2)

Tính tích vector của SA và SB ta được vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) là: (2*2 - 2*0, 2*2 - 0*2, 0*0 - 2*2) = (4, 4, -4)

Vậy, vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAB) là (4, 4, -4).

Gọi u là vector đồng phương với đường thẳng MN và có chiều từ M đến N. Ta có u = vector NS x vector MS (tích có hướng từ N đến M). Ta có:

- vector NS = (0, 1, -1)

- vector MS = (-2, 0, 0)

Tính tích vector của NS và MS ta được vector u là: (0*0 - (-1)*0, 0*(-2) - 1*0, 1*(-2) - 0*0) = (0, 0, -2)

Vậy, vector u = (0, 0, -2).

Để tính côsin góc giữa hai đường thẳng, ta sử dụng công thức: cos(θ) = (u.v) / (||u|| * ||v||), trong đó u và v lần lượt là vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng và vector đồng phương với đường thẳng.

Tính ||u|| ta được ||u|| = sqrt(0^2 + 0^2 + (-2)^2) = 2.

Tính ||v|| ta được ||v|| = sqrt(4^2 + 4^2 + (-4)^2) = 4*sqrt(3).

Tính u.v ta được u.v = 0*4 + 0*4 + (-2)*(-4) = 8.

Vậy, côsin góc giữa hai đường thẳng là: cos(θ) = 8 / (2 * 4*sqrt(3)) = 1 / (2*sqrt(3)) = sqrt(3) / 6.

Vậy, côsin góc giữa hai đường thẳng là sqrt(3) / 6.