Để giải bất phương trình bậc hai \( -3x^2 + 12x + 1 \leq 0 \), trước hết ta cần tìm các nghiệm của phương trình tương ứng \( -3x^2 + 12x + 1 = 0 \).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]

Đặt \( a = -3 \), \( b = 12 \), và \( c = 1 \), ta tính được:

\[ x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1}}}}{{2 \cdot (-3)}} \]

\[ x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{144 + 12}}}}{{-6}} \]

\[ x = \frac{{-12 \pm \sqrt{{156}}}}{{-6}} \]

\[ x = \frac{{-12 \pm 2\sqrt{{39}}}}{{-6}} \]

\[ x = 2 \pm \frac{{\sqrt{{39}}}}{3} \]

Vậy các nghiệm của phương trình là \( x = 2 + \frac{{\sqrt{{39}}}}{3} \) và \( x = 2 - \frac{{\sqrt{{39}}}}{3} \).

Để giải bất phương trình, ta cần xác định khoảng các giá trị của \( x \) thỏa mãn bất phương trình \( -3x^2 + 12x + 1 \leq 0 \). Ta có thể sử dụng biểu đồ số học hoặc kiểm tra các điểm trên đường cong để xác định các khoảng này.