## Giải bài toán về hình chóp S.ABCD

**a) Tính góc giữa SB và (SAD)**

- Gọi H là hình chiếu của S lên AB.

- Ta có: `SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB.`

- Do AB `⊥ SA và AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ (SHD).`

- Vậy, góc giữa SB và (SAD) chính là góc giữa SB và SH.

- Xét tam giác vuông SAB, ta có:

`cos(SB, SH) = cos(SBA) = SB/SA = √(SB²)/a = √(SA² + AB²) / a = √2/a`

- Vậy, góc giữa SB và `(SAD) = arccos(√2/a).`

**b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)**

- Gọi I là trung điểm của CD.

- Ta có: `AI ⊥ CD `(vì ABCD là hình vuông) và `AI ⊂ (SAD).`

- Do đó, AI là đường cao từ A đến mặt phẳng (SCD).

- Xét tam giác vuông SAI, ta có:

`AI = √(SA² - SI²) = √(a² - (a/2)²) = a√3/2`

- Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) là AI `= a√3/2.`

**c) Tính khoảng cách giữa BD và SC**

- Gọi H là hình chiếu của S lên AB.

- Ta có: `SC ⊥ (ABCD) ⇒ SC ⊥ AB.`

- Do `AB ⊥ SC và AB ⊥ SH ⇒ AB ⊥ (SHC).`

- Vậy, khoảng cách giữa BD và SC chính là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SHC).

- Kẻ `BE ⊥ SC tại E.`

- Ta có:` BE ⊥ SC và BE ⊂ (SBC).`

- Do đó, BE là đường cao từ B đến mặt phẳng (SHC).

- Xét tam giác vuông SAB, ta có:

`BH = AB/2 = a/2`

- Xét tam giác vuông SBH, ta có:

`BE = BH.SH/SB = (a/2).a/√2 = a√2/4`

- Vậy, khoảng cách giữa BD và SC là `BE = a√2/4.`