Để tìm bán kính của đường tròn có tâm I(5;4) và tiếp xúc với đường thẳng 4x - 3y + 2 = 0, ta cần xác định điểm tiếp xúc giữa đường tròn và đường thẳng.

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất: Đường tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm trên đường tròn là vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.

Đường thẳng 4x - 3y + 2 = 0 có vector pháp tuyến là (4, -3). Vì đường tròn có tâm I(5;4), nên vector bán kính tại điểm tiếp xúc sẽ là (5 - x, 4 - y). Hai vector này là vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 0.

(4, -3) . (5 - x, 4 - y) = 0
4(5 - x) - 3(4 - y) = 0
20 - 4x - 12 + 3y = 0
3y = 4x - 8
y = (4/3)x - 8/3

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại điểm I(5;4) sẽ đi qua điểm I và có phương trình là y = (4/3)x - 8/3.

Để tìm điểm tiếp xúc, ta giải hệ phương trình giữa đường tròn và đường thẳng:
(x - 5)² + (y - 4)² = r²
y = (4/3)x - 8/3

Thay y = (4/3)x - 8/3 vào phương trình đường tròn:
(x - 5)² + ((4/3)x - 8/3 - 4)² = r²
(x - 5)² + ((4/3)x - 20/3)² = r²
(x - 5)² + (4x/3 - 20/3)² = r²
(x - 5)² + (16x²/9 - 160x/9 + 400/9) = r²
9(x - 5)² + 16x² - 160x + 400 = 9r²
9x² - 90x + 225 + 16x² - 160x + 400 = 9r²
25x² - 250x + 625 = 9r²
25(x² - 10x + 25) = 9r²
25(x - 5)² = 9r²

Vì điểm tiếp xúc nằm trên đường thẳng y = (4/3)x - 8/3, nên ta thấy rằng đường thẳng này cũng đi qua tâm của đường tròn. Thay x = 5 vào phương trình đường thẳng, ta được y = 4. Vậy điểm tiếp xúc là I(5;4).

Để tìm bán kính r, ta thay I(5;4) vào phương trình đường tròn:
(5 - 5)² + (4 - 4)² = r²
0 + 0 = r²
r = 0

Vậy bán kính của đường tròn là 0, tức là đường tròn chỉ là một điểm I(5;4) và tiếp xúc với đường thẳng 4x - 3y + 2 = 0 tại điểm I.