a) Vì AH là độ cao từ đỉnh A tới cạnh đáy BC, nên AH = BC /2. Tương tự BH = BD / 2. Hãy biểu diễn góc C làm góc chung của cả hai tam giác ΔAHB và ΔCAB. Dùng Định luật Sin, chúng ta thấy rằng:

(BC / 2) / sin © = BH

Sử dụng tỷ lệ tương tự:

Vì vậy, AH / sin © = BH. Trong tam giác ΔCAB, chúng ta biết rằng:

sin © = AB * sin (A) / CA

Do đó, AH / AB * sin (A) = BH

Bây giờ hãy xem xét bộ ba số tương tự:

ΔAHB ΔCAB
AH AB*tan (A) CA*tan (A)
BH CD*tan (B) BA*tan (A)
Theo định lý Pytago, ta có:

CA^2 =CB ^ 2 +BC ^ 2
BA^2 =AB 2 - AC ^ 2

Tam giác ΔAHB và ΔCAB đều có cùng góc A, vì vậy bằng cách so sánh các bên của chúng:

AH * HA = AB * BA * tan (A) / sin (A)

Đặt s = BC / 2 = AH :

s^2 = AB^2 * BA^2 + AC^2

Bây giờ hãy nhớ lại rằng cosin bổ sung nói rằng:

cos © = cos (π-A-B) = sin (A) * sin(B) / AB
sin © = AB * sin (A-B) / AA

Vậy,

s^2 = (AB * sin(A)) ^2 + (AC * sin (B))^2

Chúng ta đã có phương trình sau cho trước:

s^2 = AB^2 * BA^2 + AC^2

Từ đây, chúng ta có thể tìm thấy mối quan hệ giữa sin (A), sin (B) và s:

(AB) (BA) * sin(A ) "

Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng tam giác ΔAHB và ΔCAB tương ứng giống nhau. Chúng ta đã thiết lập các kích thước cho tỷ lệ tương tự này, nhưng còn những góc nữa! Tuy nhiên, nhìn vào hình vẽ, chúng ta sẽ nhận thấy rằng tam giác ΔAHB là đối xứng với tam giác ΔCAB dọc theo cạnh BC, điều này ngụ ý rằng các góc của chúng cũng giống hệt nhau. Do đó, tam giác ΔAHB ~ ΔCAB, hoàn thành chứng minh.

b) Để chứng minh AH^2 = BH.CH, hãy xem xét tam giác ΔCAB và ΔHAM. Vì chúng có cùng cơ sở, chia sẻ đỉnh A và có độ cao giao nhau (AH ), chúng tạo thành các tam giác cân nhau. Như vậy, chiều cao của mỗi tam giác bằng nửa chiều dài đáy của nó. Nhưng chiều cao của ΔCAB là CH, chiều cao của ΔHMA là BH. Do đó AH^2 = BH.CH

c) Vẽ một đường thẳng song song với BC đoạn nối AB (ở giữa). đặt tên nó là PQ. Đặt giao điểm của PM tại E, PN tại D. Chia nhỏ các thông tin cần thiết:

Tam giác AMNP và tam giác ABP đều có chung một đáy;
Chiều cao của tam giác ABNP nằm ngang với PQ, trong khi chiều cao của tam giác ABP thì ngang với AM.
ΔAMP và ΔAPN là các tam giác vuông góc có cạnh huyền AP.
Hai tam giác là giống hệt nhau bởi chiều cao và chân.
Sự thật thứ tư được rút ra từ công thức tính diện tích tam giác. Diện tích của tam giác AMP tỉ lệ thuận với độ dài chiều cao AH * AM; diện tích của tam giác ANP tỉ lệ thuận với độ dài chiều cao AH * AP (hoặc AL ). Sự giống nhau này (vì AH và AP là như nhau) dẫn đến kết luận rằng các đường chéo MP và PN của tam giác AMB trùng nhau tại điểm Q. Điều này áp dụng cho mọi tam giác có dạng ΔCAB, tức là tam giác ΔACB.

d) Theo bước c, chúng ta có thể suy ra rằng ΔAMN và ΔACB giống nhau. Hơn nữa, chúng tôi đã chỉ ra rằng ΔAMN và ΔMN