Lời giải

a) Vì MD ⊥ AB, ME ⊥ AC nên \(\widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {ME{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {BAC} = \widehat {M{\rm{D}}A} = \widehat {ME{\rm{A}}} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

b) Để hình chữ nhật ADME là hình vuông thì AM là tia phân giác của \(\widehat {DA{\rm{E}}}\)

Khi đó tam giác ABC có AM vừa là phân giác vừa là trung tuyến

Nên tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì ADME là hình vuông

c) Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có

BC² = AB² + AC² = 8² + 6² = 100

Suy ra BC = 10 (cm)

Do đó \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.10 = 5\) (cm)

d) Vì MD ⊥ AB, AB ⊥ AC nên MD // AC (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC và MD // AC

Suy ra MD là đường trung bình

Do đó \(M{\rm{D}} = \frac{1}{2}AC\)

Ta có: \(\frac{{{S_{ABM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}M{\rm{D}}.AB}}{{\frac{1}{2}AC.AB}} = \frac{{M{\rm{D}}}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

Mà \[{{\rm{S}}_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.8.6 = 24\] (cm²)

Suy ra S_ABM = 12 cm²

Vậy S_ABM = 12 cm².