Lời giải

a) Xét tam giác ABH vuông tại H có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(HI = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(AI = BI = \frac{1}{2}AB\)

Do đó BI = IH

Hay tam giác IBH cân tại I

Suy ra \(\widehat {IBH} = \widehat {IHB}\)

Mà \(\widehat {IBH} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác ABC cân tại A)

Do đó \(\widehat {ACB} = \widehat {IHB}\)

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IH // AC

Do đó IHCA là hình thang

b) Xét tứ giác AHBK có

I là trung điểm của AB và HK

AB và HK là hai đường chéo

Suy ra AHBK là hình bình hành

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Suy ra AHBK là hình chữ nhật

c) Nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\)

Suy ra HIAC là hình thang cân

d) Để hình chữ nhật AHBK là hình vuông

⇔ AH = BH

\( \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}BC\)

\( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)

⇔ Tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBK là hình vuông.