Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{a (\frac{1}{a} + 1 + c)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{a} + 1 + c)} \leq \frac{1 + a + a c}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + a + a c}{9}$

$\frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} = \frac{b (\frac{1}{b} + 1 + a)}{(b^{3} + c^{2} + a) (\frac{1}{b} + 1 + a)} \leq \frac{1 + b + b a}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + b + b a}{9}$

$\frac{c}{a^{3} + b^{2} + c} = \frac{c (\frac{1}{c} + 1 + b)}{(a^{3} + b^{2} + c) (\frac{1}{c} + 1 + b)} \leq \frac{1 + c + c b}{{(a + b + c)}^{2}} = \frac{1 + c + c b}{9}$

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta có:

$\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + a + b + c + a c + b a + c b}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + (a + b + c) + (a c + b a + c b)}{9}$

Mà $3 (a b + b c + c a) \leq {(a + b + c)}^{2} = 9 \Rightarrow a b + b c + c a \leq 3$

Khi đó $\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq \frac{3 + 3 + 3}{9} = 1$

Như vậy ta có điều phải chứng minh:

\frac{a}{a^{3} + b^{2} + c} + \frac{b}{b^{3} + c^{2} + a} + \frac{c}{c^{3} + a^{2} + b} \leq 1

...Xem thêm

Answer 2