Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: xy + yz + xz = 0

Chia cả 2 vế của đẳng thức trên cho xyz ≠ 0, ta được:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$

Nhận xét: Chú ý rằng nếu x + y + z = 0 (1) thì x³ + y³ + z³ = 3xyz (*)

Thật vậy, từ (1) Þ z = -(x + y)

Do đó, x³ + y³ + z³ = x³ + y³ - (x + y)³ = -3x²y - 3xy² = -3xy(x + y) = 3xyz

Vậy, đẳng thức (*) được chứng minh

Áp dụng nhận xét trên, ta có:

Nếu $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0$ thì $\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}} = 3. \frac{1}{x} . \frac{1}{y} . \frac{1}{z} = \frac{3}{x y z}$

Do đó M = $\frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = \frac{x y z}{x^{3}} + \frac{x y z}{y^{3}} + \frac{x y z}{z^{3}} = x y z (\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} + \frac{1}{z^{3}})$

$= x y z . \frac{3}{x y z} = 3$ (x, y, z ≠ 0)

Vậy $M = \frac{y z}{x^{2}} + \frac{x z}{y^{2}} + \frac{x y}{z^{2}} = 3$ .

...Xem thêm

Answer 2