Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Vì a, b, c > 0 nên a³, b³, c³ > 0.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số a³, b³, c³, ta được: $a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}$ .

$\Rightarrow \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \leq \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

$\Rightarrow - \frac{1}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \geq - \frac{1}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . c^{3}}}$ .

Ta có $\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} = a - \frac{2 a b^{3}}{a^{3} + b^{3} + b^{3}} \geq a - \frac{2 a b^{3}}{3 \sqrt[3]{a^{3} . b^{3} . b^{3}}} = a - \frac{2}{3} b$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được:

⦁ $\frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} \geq b - \frac{2}{3} c$ (2)

⦁ $\frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} \geq c - \frac{2}{3} d$ (3)

⦁ $\frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq d - \frac{2}{3} a$ (4)

Lấy (1) + (2) + (3) + (4) vế theo vế, ta được:

$\frac{a^{4}}{a^{3} + 2 b^{3}} + \frac{b^{4}}{b^{3} + 2 c^{3}} + \frac{c^{4}}{c^{3} + 2 d^{3}} + \frac{d^{4}}{d^{3} + 2 a^{3}} \geq \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{c}{3} + \frac{d}{3} = \frac{a + b + c + d}{3}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2