Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt $x = \frac{1}{a}; y = \frac{1}{b}; z = \frac{1}{c}$ , với x, y, z > 0.

Suy ra $x y z = \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . \frac{1}{c} = 1$ .

Ta có $\frac{1}{a^{2} . (b + c)} = \frac{x^{2}}{\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{x^{2} y z}{y + z} = \frac{x}{y + z}$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành: $\frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} + \frac{z}{x + y} \geq \frac{3}{2}$ .

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y + z} + 1) + (\frac{y}{z + x} + 1) + (\frac{z}{x + y} + 1) \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow \frac{x + y + z}{y + z} + \frac{y + z + x}{z + x} + \frac{z + x + y}{x + y} \geq \frac{9}{2}$ .

$\Leftrightarrow (x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq \frac{9}{2} (*)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số x, y, z > 0, ta được:

$(x + y + z) (\frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} + \frac{1}{x + y}) \geq 9 > \frac{9}{2}$ .

Do đó (*) luôn đúng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z ⇔ a = b = c.

Vậy bất đẳng thức đã cho đã được chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2