+ Trường hợp 1: Các số p_i đều lớn hơn 2

Do p_i nguyên tố nên p_i có dạng 4n + 1 hoặc 4n + 3.

⇒ p_i² chia 4 luôn dư 1.

p₁² + p₂² + p₃² + p₄² + p₅² + p₆² + p₇² chia 4 dư 3 hay vế trái có dạng 4k + 3

Mà vế phải (*) là p₈² có dạng 4t + 1 (vì là số chính phương)

Suy ra: Trường hợp 1 vô nghiệm.

+ Trường hợp 2: có 1 số nguyên tố chẵn (bằng 2), các số còn lại lẻ:

Giả sử số nguyên tố chẵn đó là p₁², khi đó vế trái là số chẵn và lớn hơn 2

Vế phải là số chẵn hay p₈ = 2 (vô lí)

Vậy trường hợp này loại.

+ Trường hợp 3: có 2 số bằng 2.

Giả sử p₁ = p₂ = 2.

Khi đó: p₁² + p₂² = 8 chia hết cho 8

⇒ p₃² + p₄² + p₅² + p₆² + p₇² chia 8 dư 7

Mà p₈² chia 8 dư 1.

Vậy trường hợp 3 vô nghiệm.

+ Trường hợp 4: có 6 số bằng 2, 1 số > 2

Giả sử: p₁ = p₂ = … = p₆ = 2, p₇ > 2.

Ta có: 24 + p₇² = p₈²

24 = (p₈ – p₇)( p₈ + p₇)

Ta thấy 24 = 3.8 = 12.2 = 1.24 = 4.6

Thử các trường hợp ta được p₇ = 5 và p₈ = 7 là thỏa mãn.

Vậy các số cần tìm là: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5.