Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$A = (x^{4} + 1) (y^{4} + 1)$ $= x^{4} y^{4} + 1 + x^{4} + y^{4}$

$\Leftrightarrow A = {(x^{2} + y^{2})}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = {[{(x + y)}^{2} - 2 x y]}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = {(10 - 2 x y)}^{2} + {(x^{2} y^{2} - 1)}^{2}$

Đặt t = xy $\Rightarrow A = {(10 - 2 t)}^{2} + {(t^{2} - 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow A = t^{4} + 2 t^{2} - 40 t + 101$

Theo BĐT AM– GM: $x y \leq {(\frac{x + y}{2})}^{2} = \frac{5}{2}$ do đó $t \in (0; \frac{5}{2}]$

Thấy $A = t^{4} + 2 t^{2} - 40 t + 101 = {(t^{2} - 4)}^{2} + 10 {(t - 2)}^{2} + 45$

$\Leftrightarrow A = {(t - 2)}^{2} [{(t + 2)}^{2} + 10] + 45 \geq 45$

Dấu “=” xảy ra khi t = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A min = 45 $\Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow (x, y) = (\frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2})$ .

...Xem thêm

Answer 2