Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có $A = \frac{5}{4} + \frac{10}{9} + \frac{17}{16} + ... + \frac{2501}{2500}$

$= \frac{4 + 1}{4} + \frac{9 + 1}{9} + \frac{16 + 1}{16} + ... + \frac{2500 + 1}{2500}$ .

$= (1 + \frac{1}{4}) + (1 + \frac{1}{9}) + (1 + \frac{1}{16}) + ... + (1 + \frac{1}{2500})$

$= (1 + \frac{1}{2^{2}}) + (1 + \frac{1}{3^{2}}) + (1 + \frac{1}{4^{2}}) + ... + (1 + \frac{1}{50^{2}})$

$= 49 + (\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{50^{2}})$

Đặt $B = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + ... + \frac{1}{50^{2}}$

$= \frac{1}{2.2} + \frac{1}{3.3} + \frac{1}{4.4} + ... + \frac{1}{50.50}$ .

Mà $\frac{1}{1.2} < \frac{1}{2.2}; \frac{1}{2.3} < \frac{1}{3.3}; \frac{1}{3.4} < \frac{1}{4.4}; ...; \frac{1}{49.50} < \frac{1}{50.50}$ .

Suy ra $B < \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{49.50}$ .

$= \frac{2 - 1}{1.2} + \frac{3 - 2}{2.3} + \frac{4 - 3}{3.4} + ... + \frac{50 - 49}{49.50}$ .

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{49} - \frac{1}{50}$ .

$= 1 - \frac{1}{50} < 1$ .

Mà B > 0 nên 0 < B < 1.

Do đó B không phải là số nguyên.

Vậy A = 49 + B không phải là số nguyên (điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2