Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đặt $A = \frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}}$ .

Ta có: (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 6abc + 3(a²b + ab² + b²c + bc² + c²a + a²c).

⇔ (a + b + c)³ = (3abc + 3a²b + 3ab²) + (3abc + 3b²c + 3bc²) + (3abc + 3c²a + 3a²c).

⇔ (a + b + c)³ = 3ab(a + b + c) + 3bc(a + b + c) + 3ac(a + b + c).

⇔ (a + b + c)³ = 3(ab + bc + ca)(a + b + c).

⇔ (a + b + c).[(a + b + c)² – 3(ab + bc + ca)] = 0.

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a + b + c = 0 \\ {(a + b + c)}^{2} = 3 (a b + b c + c a) \end{array} \begin{matrix} (1) \\ (2) \end{matrix}$

Từ (1), ta có: $A = \frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}} = \frac{0^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}} = 0$ .

Từ (2), ta có: (a + b + c)² = 3(ab + bc + ca).

⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca.

⇔ a² + b² + c² = ab + bc + ca.

⇔ (a² – 2ab + b²) + (b² – 2bc + c²) + (c² – 2ca + a²) = 0.

⇔ (a – b)² + (b – c)² + (c – a)² = 0.

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = b \\ b = c \\ c = a \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ .

Với a = b = c, ta có: $A = \frac{{(a + b + c)}^{5}}{a^{5} + b^{5} + c^{5}} = \frac{{(3 a)}^{5}}{3 a^{5}} = \frac{3^{4} .3 a^{5}}{3 a^{5}} = 3^{4} = 81$ .

Vậy $A = \{\begin{cases} 0, k h i a + b + c = 0 \\ 81, k h i a = b = c \end{cases}$ .

...Xem thêm

Answer 2