Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: $\frac{a b + 1}{b} = \frac{b c + 1}{c} = \frac{c a + 1}{a}$

$\Leftrightarrow a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = \frac{1}{c} - \frac{1}{b} \\ b - c = \frac{1}{a} - \frac{1}{c} \\ c - a = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = \frac{b - c}{b c} \\ b - c = \frac{c - a}{a c} \\ c - a = \frac{a - b}{a b} \end{cases}$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) = \frac{b - c}{b c} . \frac{c - a}{a c} . \frac{a - b}{a b}$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) - \frac{(a - b) (b - c) (c - a)}{a^{2} b^{2} c^{2}} = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) (1 - \frac{1}{a^{2} b^{2} c^{2}}) = 0$

$\Leftrightarrow (a - b) (b - c) (c - a) = 0$ (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a - b = 0 \\ b - c = 0 \\ c - a = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = b \\ b = c \\ c = a \end{array}$

• Nếu a = b thì $\frac{1}{a} - \frac{1}{c} = 0$ . Do đó a = c, suy ra a = b = c;

• Nếu b = c thì $\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = 0$ . Do đó b = c, suy ra a = b = c;

• Nếu c = a thì $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = 0$ . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.

...Xem thêm

Answer 2