a. Tính FMN

Ta có:

FM = MN . cos(BME)

Vì BE là đường cao của tam giác ABC nên BE = BM = AB/2

FM = MN . cos(BME) = MN . cos(B)

Vì B là góc nhọn nên cos(B) = AB/AC

FM = MN . AB/AC

Vì M là chân đường vuông góc kẻ từ N đến AC nên MN = AC/2

FM = (AC/2) . AB/AC = AB/4

Vì H là giao điểm của các đường cao nên HM = MN = AC/2

FMN = FM - HM = AB/4 - AC/2 = -AC/4

Vậy FMN = -AC/4.

b. Chứng minh rằng: 3 điểm K,L,R thẳng hàng

Ta có:

KN = BC/2 - MN

Vì N là trung điểm của BC nên MN = BC/2

KN = BC/2 - BC/2 = 0

Tương tự, ta có:

KL = AC/2 - MN

RL = AB/2 - MN

Vì MN = BC/2 nên ta có:

KN = KL = RL = 0

Do đó, ba điểm K,L,R thẳng hàng.

c. Chứng minh rằng: HN . CS= NC . SH

Ta có:

HN = NC . cos(B)

SH = AB . cos(A)

CS = AC . cos(C)

Do đó:

HN . CS = NC . cos(B) . AC . cos(C) = NC . AC . cos(B) . cos(C) = NC . SH

Vậy HN . CS = NC . SH.

Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được các kết quả sau:

FMN = -AC/4
Ba điểm K,L,R thẳng hàng
HN . CS = NC . SH

a. Tính FMN

Ta có:

FM = MN . cos(BME)

Vì BE là đường cao của tam giác ABC nên BE = BM = AB/2

FM = MN . cos(BME) = MN . cos(B)

Vì B là góc nhọn nên cos(B) = AB/AC

FM = MN . AB/AC

Vì M là chân đường vuông góc kẻ từ N đến AC nên MN = AC/2

FM = (AC/2) . AB/AC = AB/4

Vì H là giao điểm của các đường cao nên HM = MN = AC/2

FMN = FM - HM = AB/4 - AC/2 = -AC/4

Vậy FMN = -AC/4.

b. Chứng minh rằng: 3 điểm K,L,R thẳng hàng

Ta có:

KN = BC/2 - MN

Vì N là trung điểm của BC nên MN = BC/2

KN = BC/2 - BC/2 = 0

Tương tự, ta có:

KL = AC/2 - MN

RL = AB/2 - MN

Vì MN = BC/2 nên ta có:

KN = KL = RL = 0

Do đó, ba điểm K,L,R thẳng hàng.

c. Chứng minh rằng: HN . CS= NC . SH

Ta có:

HN = NC . cos(B)

SH = AB . cos(A)

CS = AC . cos(C)

Do đó:

HN . CS = NC . cos(B) . AC . cos(C) = NC . AC . cos(B) . cos(C) = NC . SH

Vậy HN . CS = NC . SH.

Kết luận

Vậy ta đã chứng minh được các kết quả sau:

FMN = -AC/4
Ba điểm K,L,R thẳng hàng
HN . CS = NC . SH