a) Chứng minh: \( BH = EM \)

Ta có tam giác \( ABE \) vuông cân tại \( B \), nên \( BE = BA \).

Xem xét tam giác \( BHE \) và \( BEM \):

- Góc \( B \) chung.

- Góc \( BEH \) và \( BEM \) là góc vuông vì \( BE \) là đường cao của tam giác \( ABE \).

Do đó, theo Định lí góc - góc - góc (AA), ta có \( \triangle BHE \) đồng dạng với \( \triangle BEM \).

\( \Rightarrow \) Tỷ lệ giữa các cạnh của \( \triangle BHE \) và \( \triangle BEM \) là bằng nhau.

\( \Rightarrow \) \( \frac{BH}{BE} = \frac{BE}{EM} \)

Nhưng \( BE = BA \), nên \( \frac{BH}{BA} = \frac{BA}{EM} \)

\( \Rightarrow \) \( BH = EM \) (nhận xét rằng \( BH \) và \( BA \) là các phần bằng nhau của \( BE \))

b) Trên tia đối của tia \( AH \), lấy điểm \( F \) sao cho \( AF = BC \cdot BE \) và \( CF \) cắt \( AF \) tại \( I \).

Chứng minh: \( IE = IF \)

Xem xét tam giác \( ABE \):

- \( \angle BAE \) và \( \angle BEA \) là góc vuông vì \( \triangle ABE \) vuông cân tại \( B \).

- \( \angle ABE \) và \( \angle AEB \) là góc bù của \( \angle BAE \) và \( \angle BEA \), nên \( \angle ABE = \angle AEB \).

Do đó, \( \triangle ABE \) là tam giác vuông cân tại \( B \) và \( \angle ABE = \angle AEB \).

Kí hiệu \( X \) là trung điểm của \( AE \), \( AX = EX \).

Xem xét tam giác \( ACF \):

- \( \angle CAF \) và \( \angle CFA \) là góc vuông vì \( CF \) là đường cao của \( \triangle ACF \).

- \( \angle ACF \) và \( \angle AFC \) là góc bù của \( \angle CAF \) và \( \angle CFA \), nên \( \angle ACF = \angle AFC \).

Do đó, \( \triangle ACF \) là tam giác vuông cân tại \( C \) và \( \angle ACF = \angle AFC \).

\( \Rightarrow \) \( AC = CF \) (vì \( \triangle ACF \) vuông cân).

Xem xét tam giác \( AIF \):

- \( \angle AFI \) và \( \angle AIF \) là góc vuông vì \( AF \) là đường cao của \( \triangle AIF \).

- \( \angle AIF \) và \( \angle AFI \) là góc bù của \( \angle AFI \) và \( \angle AIF \), nên \( \angle AIF = \angle AFI \).

Do đó, \( \triangle AIF \) là tam giác vuông cân tại \( I \) và \( \angle AIF = \angle AFI \).

\( \Rightarrow \) \( AI = IF \) (vì \( \triangle AIF \) vuông cân).

Vậy nên, \( IE = IF \).