a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông, ta có:

BC² = AB² + AC² = 12² + 16² = 400

Suy ra: BC = 20 cm

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

\(\frac{{DB}}{{DC}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC}}\,\)suy ra: \(\frac{{DB}}{{DC + DB}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC + AB}}\,\,hay\,\,\frac{{DB}}{{CB}}\,\, = \,\,\frac{{AB}}{{AC + AB}}\)

Suy ra: DB = \(\frac{{BC.AB}}{{AC + AB}}\,\, = \,\frac{{20\, \cdot \,12}}{{16 + 12}}\,\, = \,\frac{{60}}{7}\)(cm)

DC = BC – DB = \[20 - \frac{{60}}{7}\, = \,\frac{{80}}{7}\]

b) Ta có: S_ABC = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = \(\frac{1}{2}\)AH.BC

Suy ra: AH . BC = AB . AC

AH = \(\frac{{AB\,.\,AC}}{{BC}}\, = \,\frac{{12.16}}{{20}}\, = \,9,6\)(cm)

Trong tam giác AHB vuông ta có: BA² = AH² + HB²

HB² = BA² – AH² = 12² – (9,6)² = 51,84

HB = 7,2 cm

Vậy HD = BD – HB ≈ 1,37 (cm)

Trong tam giác vuông AHD có: AD² = AH² + HD² = (9,6)² + (1,37)² = 94,0369

Suy ra: AD ≈ 9,7 cm.