Lời giải:

Điều kiện: \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x\)

\( \Leftrightarrow 1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x\)

\( \Rightarrow \cos x + \sin x = 2\sqrt 2 \sin x\cos x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin 2x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Kết hợp với điều kiện, vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).