Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn C

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 2 ; AC = căn bậc hai 3 Góc CAA' = 90 độ, góc BAA' = 120 độ (ảnh 1)

Đặt $A' A = x (x > 0)$ . Ta có $\{\begin{cases} C A ⊥ A B \\ C A ⊥ A A' \end{cases} \Rightarrow C A ⊥ (A B B' A') \Rightarrow C A ⊥ A' B$

Lại có $A' B ⊥ C M$ nên $A' B ⊥ (C M A) \Rightarrow A' B ⊥ A M$ .

Xét tam giác BAA' có $A B = 2, A A' = x$ và $\hat{B A A'} = 120^{0}$ . Theo Định lý hàm số cos ta có

$A' B = \sqrt{x^{2} + 2^{2} - 2. x .2. c o s 120^{0}} = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} \Rightarrow I A' = \frac{2}{3} A' B = \frac{2}{3} \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}$

Xét tam giác ABM có $A B = 2, B M = \frac{x}{2}$ và $\hat{M B A} = 60^{0}$ . Theo Định lý hàm số cos ta có

$A M = \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} + 2^{2} - 2. \frac{x}{2} .2. c o s 60^{0}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - x + 4} \Rightarrow I A = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - x + 4}$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông A'IA có $I A'^{2} + I A^{2} = A' A^{2} \Leftrightarrow \frac{4}{9} (x^{2} + 2 x + 4) + \frac{4}{9} (\frac{x^{2}}{4} - x + 4) = x^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{4}{9} x^{2} - \frac{4}{9} x - \frac{32}{9} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ (Do x > 0)

Xét tứ diện C.ABA' có $C A ⊥ (A B A')$ nên $V_{C . A B A'} = \frac{1}{3} S_{Δ A B A'} . C A = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} A B . A A' . \sin 120^{0} . \sqrt{3} = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} .2. (\frac{1 + \sqrt{33}}{2}) . \frac{\sqrt{3}}{2} . \sqrt{3} = \frac{1 + \sqrt{33}}{4}$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = 3. V_{C . A B A'} = \frac{3 (1 + \sqrt{33})}{4} .$

...Xem thêm

Answer 2