Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SO và cắt SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I, M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác (MNPQ) và một đáy nằm trên mặt phẳng (ABCD). Thể tích khối trụ lớn nhất bằng (ảnh 1)

Ta có $O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \Rightarrow S O = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Do (MNPQ) song song với mặt đáy nên $\frac{I P}{O C} = \frac{S I}{S O} \Leftrightarrow \frac{I P}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{S I}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} \Leftrightarrow I P = S I$ .

$\Rightarrow I O = S O - O I = \frac{a \sqrt{2}}{2} - I P$ .

Khi đó ta có thể tích khối trụ là $V = I O . π . I P^{2} = π (\frac{a \sqrt{2}}{2} - I P) I P^{2}$

Cách 1:

Đặt x = IP với $0 < x < \frac{a \sqrt{2}}{2}$ , khi đó:

Xét hàm số $f (x) = (\frac{a \sqrt{2}}{2} - x) x^{2}$ với $0 < x < \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Ta có $f^{'} (x) = x a \sqrt{2} - 3 x^{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 & (l) \\ x = \frac{a \sqrt{2}}{3} & (n) \end{matrix}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy $\max_{x \in (0; \frac{a \sqrt{2}}{2})} f (x) = f (\frac{a \sqrt{2}}{3}) = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{27} \Rightarrow V_{\max} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{27}$

Cách 2:

Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:

$V = \frac{1}{2} π (a \sqrt{2} - 2 I P) I P . I P \leq \frac{1}{2} π \frac{{(a \sqrt{2} - 2 I P + I P + I P)}^{3}}{27} = \frac{π a^{3} \sqrt{2}}{27}$ .

Đẳng thức xảy ra

\Leftrightarrow a \sqrt{2} - 2 I P = I P \Leftrightarrow I P = \frac{a \sqrt{2}}{3}

...Xem thêm

Answer 2