Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị

$\frac{x + 1}{x - 1} = 2 x + m \Leftrightarrow x + 1 = (2 x + m) (x - 1) \Leftrightarrow x + 1 = 2 x^{2} - 2 x + m x - m \Leftrightarrow 2 x^{2} + (m - 3) x - m - 1 = 0$

Đặt $g (x) = 2 x^{2} + (m - 3) x - m - 1$

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_{A}, x_{B}$ khác 1, nghĩa là

$\{\begin{cases} Δ > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 3)}^{2} + 8 (m + 1) > 0 \\ 2 + m - 3 - m - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 6 m + 9 + 8 m + 8 > 0 \\ - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 2 m + 17 > 0 \\ - 2 \neq 0 \end{cases}$ (đúng)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} S = x_{A} + x_{B} = \frac{3 - m}{2} \\ P = x_{A} x_{B} = - \frac{m + 1}{2} \end{cases}$

Từ đó suy ra tọa độ điểm $A (x_{A}; 2 x_{A} + m), B (x_{B}; 2 x_{B} + m)$

Ta có $O A = \sqrt{x_{A}^{2} + {(2 x_{A} + m)}^{2}}, O B = \sqrt{x_{B}^{2} + {(2 x_{B} + m)}^{2}}$ ,

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(2 x_{B} - 2 x_{A})}^{2}} = \sqrt{5 {(x_{B} - x_{A})}^{2}}$

Áp dụng định lý cos trong $Δ O A B$ ta có

$\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2 O A . O B}$

Theo đề, góc $\hat{A O B}$ nhọn nên

$\cos \hat{A O B} > 0 \Leftrightarrow \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2 O A . O B} > 0 \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} > A B^{2} \Leftrightarrow x_{A}^{2} + {(2 x_{A} + m)}^{2} + x_{B}^{2} + {(2 x_{B} + m)}^{2} > 5 {(x_{B} - x_{A})}^{2} \Leftrightarrow x_{A}^{2} + 4 x_{A}^{2} + 4 m (x_{A} + x_{B}) + x_{B}^{2} + 4 x_{B}^{2} + 2 m^{2} > 5 (x_{A}^{2} - 2 x_{A} x_{B} + x_{B}^{2}) \Leftrightarrow 4 m (x_{A} + x_{B}) + 2 m^{2} > - 10 x_{A} x_{B} \Leftrightarrow 4 m S + 2 m^{2} > - 10 P \Leftrightarrow 4 m (\frac{3 - m}{2}) + 2 m^{2} > \frac{10 (m + 1)}{2} \Leftrightarrow 2 m (3 - m) + 2 m^{2} > 5 (m + 1) \Leftrightarrow 6 m - 2 m^{2} + 2 m^{2} > 5 m + 5 \Leftrightarrow m > 5$

Mà $m \in ℤ$ và $m \in [- 10; 10]$ nên suy ra $m \in \{6; 7; 8; 9; 10\}$

Vậy có 5 giá trị m thỏa đề.

...Xem thêm

Answer 2

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị

$\frac{x + 1}{x - 1} = 2 x + m \Leftrightarrow x + 1 = (2 x + m) (x - 1) \Leftrightarrow x + 1 = 2 x^{2} - 2 x + m x - m \Leftrightarrow 2 x^{2} + (m - 3) x - m - 1 = 0$

Đặt $g (x) = 2 x^{2} + (m - 3) x - m - 1$

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_{A}, x_{B}$ khác 1, nghĩa là

$\{\begin{cases} Δ > 0 \\ g (1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(m - 3)}^{2} + 8 (m + 1) > 0 \\ 2 + m - 3 - m - 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - 6 m + 9 + 8 m + 8 > 0 \\ - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 2 m + 17 > 0 \\ - 2 \neq 0 \end{cases}$ (đúng)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} S = x_{A} + x_{B} = \frac{3 - m}{2} \\ P = x_{A} x_{B} = - \frac{m + 1}{2} \end{cases}$

Từ đó suy ra tọa độ điểm $A (x_{A}; 2 x_{A} + m), B (x_{B}; 2 x_{B} + m)$

Ta có $O A = \sqrt{x_{A}^{2} + {(2 x_{A} + m)}^{2}}, O B = \sqrt{x_{B}^{2} + {(2 x_{B} + m)}^{2}}$ ,

$A B = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(2 x_{B} - 2 x_{A})}^{2}} = \sqrt{5 {(x_{B} - x_{A})}^{2}}$

Áp dụng định lý cos trong $Δ O A B$ ta có

$\cos \hat{A O B} = \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2 O A . O B}$

Theo đề, góc $\hat{A O B}$ nhọn nên

$\cos \hat{A O B} > 0 \Leftrightarrow \frac{O A^{2} + O B^{2} - A B^{2}}{2 O A . O B} > 0 \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} > A B^{2} \Leftrightarrow x_{A}^{2} + {(2 x_{A} + m)}^{2} + x_{B}^{2} + {(2 x_{B} + m)}^{2} > 5 {(x_{B} - x_{A})}^{2} \Leftrightarrow x_{A}^{2} + 4 x_{A}^{2} + 4 m (x_{A} + x_{B}) + x_{B}^{2} + 4 x_{B}^{2} + 2 m^{2} > 5 (x_{A}^{2} - 2 x_{A} x_{B} + x_{B}^{2}) \Leftrightarrow 4 m (x_{A} + x_{B}) + 2 m^{2} > - 10 x_{A} x_{B} \Leftrightarrow 4 m S + 2 m^{2} > - 10 P \Leftrightarrow 4 m (\frac{3 - m}{2}) + 2 m^{2} > \frac{10 (m + 1)}{2} \Leftrightarrow 2 m (3 - m) + 2 m^{2} > 5 (m + 1) \Leftrightarrow 6 m - 2 m^{2} + 2 m^{2} > 5 m + 5 \Leftrightarrow m > 5$

Mà $m \in ℤ$ và $m \in [- 10; 10]$ nên suy ra $m \in \{6; 7; 8; 9; 10\}$

Vậy có 5 giá trị m thỏa đề.

2 câu trả lời 94

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12