Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng 60o và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a. (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Do S.ABCD là hình chóp đều nên $S O ⊥ (A B C D) \Rightarrow S O ⊥ A B$ .

Ta có: S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

$A B \subset (S A B); C D \subset (S C D); A B / / C D$ .

Suy ra hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng $△$ đi qua S, song song với AB và CD.

Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB và CD => HK đi qua O và $H K ⊥ A B$ .

Ta có: $\{\begin{cases} S O ⊥ A B \\ H K ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S H K) \Rightarrow Δ ⊥ (S H K)$ (Do $Δ / / A B$ ).

$\Rightarrow \hat{((S A B); (S C D))} = \hat{(S H; S K)} = 60 ° \Rightarrow S H ⊥ S K \Rightarrow$ Tam giác SHK là tam giác đều.

Kẻ KP vuông góc SH tại P.

Do $C D / / A B \subset (S A B) \Rightarrow C D / / (S A B)$ nên $d (C D; A B) = d (C D; (S A B)) = d (K; (S A B)) = a$

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} K P ⊥ S H \\ K P ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow K P ⊥ (S A B) \Rightarrow d (K; (S A B)) = K P = a \Rightarrow S O = a$ và $H K = \frac{2 a}{\sqrt{3}}$ (Do tam giác SHK là tam giác đều)

Suy ra $S_{A B C D} = H K^{2} = \frac{4 a^{2}}{3}$ .

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} a . \frac{4 a^{2}}{3} = \frac{4}{9} a^{3}$

...Xem thêm

Answer 2