Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Áp dụng định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\left( 1 \right)\)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}} \Rightarrow \cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{bc}}{{2S}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)

Chứng minh tượng tự ta cũng có: \(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}};\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\)

Do đó: \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\).

...Xem thêm

Answer 2

Áp dụng định lí côsin ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\left( 1 \right)\)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A \Rightarrow \sin A = \frac{{2S}}{{bc}}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(\cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{{2S}}{{bc}} \Rightarrow \cot A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}.\frac{{bc}}{{2S}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}}\)

Chứng minh tượng tự ta cũng có: \(\cot B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}};\cot C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}}\)

Do đó: \(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{4S}} + \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{4S}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{4S}}\).

1 câu trả lời 124

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12