a) Xét △ABI và △ACI có

AI là cạnh chung

AB = AC (giả thiết)

BI = CI (giả thiết)

Suy ra △ABI = △ACI (c.c.c)

Do đó \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\), \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (các góc tương ứng)

Suy ra AI là tia phân giác của góc BAC

b) Ta có \(\widehat {ABI} + \widehat {ABM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\(\widehat {ACI} + \widehat {ACN} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {ACI}\)(chứng minh câu a)

Suy ra \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét △ABM và △ACN có

AB = AC (giả thiết)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)

BM = CN (giả thiết)

Suy ra △ABM = △ACN (c.g.c)

Do đó AM = AN (hai cạnh tương ứng)

c) Vì △ABI = △ACI (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC}\)(hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {AIB} + \widehat {AIC} = 180^\circ \)(hai góc kề bù)

Suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AIC} = 90^\circ \)

Hay AI ⊥ BC

Vậy AI ⊥ BC.