Đường sinh của một hình nón là đường nối từ đỉnh của nó đến trung điểm của cạnh đáy. Trong trường hợp này, đường sinh có độ dài bằng với bán kính đáy của hình nón, hay cũng chính là bán kính đáy chia 2.

Giả sử bán kính đáy của hình nón là \(r\), và diện tích đáy \(S\) được cho bằng \(9\pi\). Ta có công thức tính diện tích đáy của hình nón là \(S = \pi r^2\).

\(S = 9\pi = \pi r^2\)

Từ đây, ta có \(r^2 = 9\) và \(r = 3\) (vì \(r > 0\), nên không lấy \(r = -3\)).

Đường cao \(h\) của hình nón có thể tính bằng công thức: \(h = \sqrt{r^2 + \left(\frac{r}{2}\right)^2}\) (theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông tại đỉnh của hình nón).

Thay vào đó \(r = 3\):

\(h = \sqrt{3^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{2}\)

Rút gọn căn bậc hai của 45 là \(3\sqrt{5}\). Vậy \(h = \frac{3\sqrt{5}}{2}\).