Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Ta có $g^{'} (x) = 2 f^{'} (2 x - 3) - \frac{2 x}{1 + x^{2}} - 2 m$

Để hàm số $g (x) = f (2 x - 3) - \ln (1 + x^{2}) - 2 m x$ nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; 2)$

$\Leftrightarrow g^{'} (x) \leq 0, \forall x \in (\frac{1}{2}; 2) \Leftrightarrow m \geq f^{'} (2 x - 3) - \frac{x}{1 + x^{2}}, \forall x \in (\frac{1}{2}; 2)$

Xét hàm số $h (x) = f^{'} (2 x - 3) - \frac{x}{1 + x^{2}}, x \in (\frac{1}{2}; 2)$ . Đặt $t = 2 x - 3 \Rightarrow t \in (- 1; 1)$

Khi đó ta xét hàm số $g (t) = f^{'} (t) - \frac{\frac{t + 3}{2}}{1 + {(\frac{t + 3}{2})}^{2}} = f^{'} (t) - \frac{2 t + 6}{t^{2} + 6 t + 13}$

Ta có $g^{'} (t) = f^{''} (t) + \frac{2 t^{2} + 12 t + 14}{{(t^{2} + 6 t + 13)}^{2}}$ .

Từ đồ thị ta thấy được f'(t) đồng biến trên (-1;1) nên $f^{''} (t) > 0, \forall t \in (- 1; 1)$ nên $g^{'} (t) = f^{''} (t) + \frac{2 t^{2} + 12 t + 14}{{(t^{2} + 6 t + 13)}^{2}} > 0, \forall t \in (- 1; 1)$ . Nên g(t) đồng biến trên (-1;1).

Nên $m \geq f^{'} (2 x - 3) - \frac{x}{1 + x^{2}}, \forall x \in (\frac{1}{2}; 2) \Leftrightarrow m \geq f^{'} (t) - \frac{2 t + 6}{t^{2} + 6 t + 13}, \forall t \in (- 1; 1)$

\Leftrightarrow m \geq g (t), \forall t \in (- 1; 1) \Leftrightarrow m \geq g (1) = \frac{18}{5}

.

...Xem thêm

Answer 2