Để bất phương trình \(2^x > m^2 - m\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) (tất cả các số thực \(x\) thỏa mãn), chúng ta cần xác định điều kiện để bất phương trình này luôn đúng.

Để bắt đầu, chúng ta có thể tìm điều kiện cần và đủ để \(2^x > m^2 - m\). Điều này đồng nghĩa với việc \(m^2 - m\) phải là một số dương, vì ta biết rằng \(2^x\) là một số dương với mọi \(x\) (do \(2\) là một số dương và mũ của một số dương luôn là một số dương).

\(m^2 - m > 0\) là điều kiện cần để bất phương trình này có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\). Chúng ta có thể giải bất phương trình bậc hai này để tìm ra tập nghiệm.

\(m^2 - m > 0\)

\(m(m - 1) > 0\)

Để tìm tập nghiệm của bất phương trình này, chúng ta có thể sử dụng định lí về tích của các đoạn thẳng:

Điểm cắt của đồ thị \(y = m(m - 1)\) là \(m = 0\) và \(m = 1\).

Như vậy, ta chia mặt phẳng thành ba khoảng: \((-\infty, 0), (0, 1), (1, +\infty)\).

Để \(m(m - 1) > 0\), ta cần lựa chọn \(m\) thuộc về khoảng \((0, 1)\) hoặc \((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\).

Do đó, với \(m\) thuộc khoảng \((0, 1)\) hoặc \((-\infty, 0) \cup (1, +\infty)\), bất phương trình \(2^x > m^2 - m\) sẽ có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\).