Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có tam giác ABC và đường trùng tuyến AM. Gọi K là trung điểm của AM và D là giao điểm của BK và AC. Chúng ta cần chứng minh rằng \(AD = \frac{1}{2} CD\).

Vì K là trung điểm của AM, ta có AK = KM. Đồng thời, ta cũng biết rằng trong tam giác ABC, BK là đường trung tuyến nên \(BD = \frac{1}{2}AC\).

Theo định lí đồng dạng tam giác, ta có:

\(\frac{AD}{CD} = \frac{AK}{KB}\)

Vì \(AK = KM\) (do K là trung điểm), và \(KB = BD + DK\), thay giá trị đã biết vào ta có:

\(\frac{AD}{CD} = \frac{AK}{KB} = \frac{AK}{BD + DK} = \frac{AK}{\frac{1}{2}AC + DK}\)

Nhưng chúng ta cũng biết rằng \(BD = \frac{1}{2}AC\), vì vậy \(DK = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{4}AC\).

Thay giá trị vào phương trình trước đó:

\(\frac{AD}{CD} = \frac{AK}{\frac{1}{2}AC + DK} = \frac{AK}{\frac{1}{2}AC + \frac{1}{4}AC} = \frac{AK}{\frac{3}{4}AC} = \frac{4}{3} \cdot \frac{AK}{AC}\)

Nhưng \(AK = KM\), vì K là trung điểm của AM. Vậy:

\(\frac{AD}{CD} = \frac{4}{3} \cdot \frac{AK}{AC} = \frac{4}{3} \cdot \frac{KM}{AC} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(AD = \frac{2}{3} CD\).

...Xem thêm

Answer 2