Để giải phương trình này, ta sẽ sử dụng công thức gộp hai cosin:

\[\cos(a) - \cos(b) = -2 \sin \left(\frac{{a+b}}{2}\right) \sin \left(\frac{{a-b}}{2}\right)\]

Áp dụng công thức này vào phương trình:

\[\cos \left(3x + \frac{{pi}}{3}\right) - \cos \left(\frac{{7pi}}{6} - 2x\right) = 0\]

Ta có:

\[a = 3x + \frac{{pi}}{3}\]

\[b = \frac{{7pi}}{6} - 2x\]

Thay a và b vào công thức gộp hai cosin:

\[-2 \sin \left(\frac{{a+b}}{2}\right) \sin \left(\frac{{a-b}}{2}\right) = 0\]

\[-2 \sin \left(\frac{{3x + \frac{{pi}}{3} + \frac{{7pi}}{6} - 2x}}{2}\right) \sin \left(\frac{{3x + \frac{{pi}}{3} - \left(\frac{{7pi}}{6} - 2x\right)}}{2}\right) = 0\]

Simplifying, ta được:

\[-2 \sin \left(\frac{{5x + \frac{{pi}}{2}}}{2}\right) \sin \left(\frac{{5x - \frac{{pi}}{6}}}{2}\right) = 0\]

Điều này có nghĩa là một trong hai sin phải bằng 0:

\[\sin \left(\frac{{5x + \frac{{pi}}{2}}}{2}\right) = 0\]

hoặc

\[\sin \left(\frac{{5x - \frac{{pi}}{6}}}{2}\right) = 0\]

Giải hai phương trình này, ta có:

\[\frac{{5x + \frac{{pi}}{2}}}{2} = n \pi\]

hoặc

\[\frac{{5x - \frac{{pi}}{6}}}{2} = n \pi\]

Trong đó n là số nguyên.

Giải phương trình đầu tiên, ta có:

\[5x + \frac{{pi}}{2} = 2n \pi\]

\[5x = 2n \pi - \frac{{pi}}{2}\]

\[x = \frac{{2n \pi - \frac{{pi}}{2}}}{5}\]

Giải phương trình thứ hai, ta có:

\[5x - \frac{{pi}}{6} = 2n \pi\]

\[5x = 2n \pi + \frac{{pi}}{6}\]

\[x = \frac{{2n \pi + \frac{{pi}}{6}}}{5}\]

Vậy, tất cả các nghiệm của phương trình ban đầu là:

\[x = \frac{{2n \pi - \frac{{pi}}{2}}}{5} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{{2n \pi + \frac{{pi}}{6}}}{5}\]

Trong đó n là số nguyên.