Lời giải

a) Xét ∆OBE và ∆ODE có:

OE là cạnh chung

\(\widehat {BOE} = \widehat {DOE}\) (giả thiết)

OB = OD (bán kính).

Do đó ∆OBE = ∆ODE (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {OBE} = \widehat {ODE}\) (hai góc tương ứng).

Ta có \(\widehat {OBE} = 90^\circ \) (tính chất của tiếp tuyến) nên \(\widehat {ODE} = 90^\circ \).

Đường thẳng ED đi qua điểm D của đường tròn (O) và ED ⊥ OD nên ED là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AC = AB, DE = BE nên

AC + DE = AB + BE = AE        (1)

Từ câu a) ta có CD ⊥ DE.

Mà CD ⊥ AC (giả thiết) nên ED // AC.

Ta có CD là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AC và DE

Do đó AE ≥ CD = 2R (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC + DE ≥ 2R.

c) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

OA là tia phân giác của \(\widehat {BOC}\), OE là tia phân giác của \(\widehat {BOD}\).

Mà \(\widehat {BOC},\,\,\widehat {BOD}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOE} = \widehat {BOC} + \widehat {BOD} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {AOE} = 90^\circ \).